Bu yazımızda sizlere 8. sınıf  Çarpanlar ve Katlar hakkında bilgilendireceğiz. Aşağıda sizlere başlıklar halinde konularımızı anlattık. Üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Çarpanlar ve Katlar

• Çarpanlar ve Asal Çarpanlar
• EBOB – EKOK
• Aralarında Asal Sayılar

Çarpanlar ve Asal Çarpanlar 

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir .Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Pozitif Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Çarpanları (Bölenleri)

Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölebilen sayılara, o pozitif tam sayının pozitif tam sayı çarpanları denir.

Örnek:

24 sayısının pozitif çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.

24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir.

24’ün Pozitif Çarpanları / Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Asal Sayılar

Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, sayıları birer asal sayıdır.

1 asal sayı değildir.
En küçük asal sayı 2’dir.
2’den başka çift olan asal sayı yoktur.

Örnek:

81 asal sayı mıdır? 81’in çarpanlarını bulalım.

81 = 1 x 81
81 = 3 x 27

Görüldüğü gibi 81 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka sayılar da vardır. Bu yüzden 81 sayısı asal sayı değildir.

Asal Çarpanlar

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

Bir sayının asal çarpanlarını belirlemenin üç farklı yolu vardır.

♦  Verilen doğal sayının tüm çarpanlarını yazıp içlerinden asal olanları belirlenir.
♦  Verilen doğal sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Daha sonra bulunan sayılar asal olana kadar çarpanlara ayırmaya devam edilir. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar verilen doğal sayının asal çarpanlarıdır. (Çarpan ağacı)
♦  Verilen doğal sayının yanına dikey bir çizgi çizilir. En küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölemediğimizde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yapılır. 1 elde edilince işleme son verilir. Çizginin sağında kalan sayılar verilen doğal sayının asal çarpanları olur. (Asal çarpan algoritması veya bölen listesi)

Çarpan Ağacına Örnek:

Asal çarpan algoritması veya bölen listesine örnek:

EBOB – EKOK 

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarından en küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir.
a ile b’nin en küçük ortak katı EKOK (a, b) veya (a, b)_ekok ile gösterilir.

Ekok nasıl bulunur?

İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.

Örnek:

12 ve 16 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

Ekok problemleri

İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür. Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.

EKOK SORULARI KARŞIMIZA GENELDE  ŞU ŞEKİLDE ÇIKAR:

Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,
Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,
Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,
Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.

En Büyük Ortak Kat(EBOB)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca EBOB‘u denir.

a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)_ebob şeklinde gösterilir.

Ebob nasıl bulunur?

İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.

Örnek:

24 ve 36 litrelik iki bidondaki sütler birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli kaplara dağıtılacaktır.

Buna göre bu iş için en az  kaç kap gerekir?

Eşit hacimli kaplara dağıtılacağından 24 ve 36 sayılarının ortak böleni bulunmalıdır. En az kap istendiğinden kapların en çok hacimli olması gerekir.

Ebob Problemler

İki veya daha fazla çokluğun ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Doğal olarak sorularda bütünü parçalamamızı istiyorsa ebob kullanma ihtimalimiz yüksek.

EBOB SORULARI KARŞIMIZA GENELDE  ŞU ŞEKİLDE ÇIKAR:

Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,
Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,
İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,
Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,
Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.

Aralarında Asal Sayılar

1’den başka ortak doğal sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek:

18 ve 21 sayılarının aralarında asal olup olmadığını bulalım.

18 ve 21 sayılarının bölenleri;

18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
21’in bölenleri: 1, 3, 7, 21

Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri 1 ve 3’tür. 1’den başka ortak bölenleri bulunduğu için bu iki sayı aralarında asal sayı değildir.

Örnek:

eşitliğinde (x-3) ile (y+2) aralarında asaldır.

Buna göre , kaçtır?

eşitliğinde 10 ve 14 aralarında asal oluncaya kadar sadeleştirilir.

LGS Matematik Konu Anlatımı için Tıklayınız