Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak  bilgi sahibi olabilirsiniz. Bileşik Önermeler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor…

Bileşik Önermeler

• Ve Bağlacı
• Veya Bağlacı
• Ya Da Bağlacı
• De Morgan Kuralları
• İse Bağlacı
• Ancak ve Ancak Bağlacı

İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme</stron denir.

Ve Bağlacı (∧)

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p ∧ q biçiminde gösterilir.

p ∧ q önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Örnek

p: “7 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “7 çift sayıdır.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∧ q: “7 asal sayıdır ve çift sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ∧ q ≡ 0)

Özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği: Her p önermesi için p ∧ p ≡ p olur.

Tabloda sütunlardan p ∧ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği

Değişme Özelliği: Her p ve q önermeleri için p ∧ q ≡ q ∧ p olur.

tabloda gri sütunlardan p ∧ q ≡ q ∧ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Değişme Özelliği

Birleşme Özelliği: Her p, q, r önermesi için (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) olur.

tabloda gri sütunlardan (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Birleşme Özelliği

Dağılma Özelliği: Her p, q ve r önermeleri için “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

→ “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

→ “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∨ r) ∧ p ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Veya Bağlacı (∨)

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve p ∨ q biçiminde gösterilir.

p ∨ q Doğruluk Tablosu

p ∨ q önermesi, önermelerin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

Örnek

p: “Konya bir ildir.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “Konya başkenttir.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∨ q: “Konya bir ildir veya başkenttir.” önermesi doğrudur. (p ∨ q ≡ 1)

Özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği: Her p önermesi için p ∨ p ≡ p olur.

“veya” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği

Değişme Özelliği: Her p ve q önermeleri için p ∨ q ≡ q ∨ p olur.

“veya” Bağlacı Değişme Özelliği

Birleşme Özelliği: Her p, q, r önermesi için (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) olur.

“veya” Bağlacı Birleşme Özelliği

Dağılma Özelliği: Her p, q ve r önermeleri için “veya” bağlacının “ve” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

→ “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

→ “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∧ r) ∨ p ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Ya Da Bağlacı

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir.

p ⊻ q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Ya da bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

Değişme Özelliği

Her p ve q önermeleri için p ⊻ q ≡ q ⊻ p olur.

Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) olur.

De Morgan Kuralları

De Morgan kuralı “ve”, “veya” bağlaçları ile bağlanmış iki önermenin değil’ini indirgemek için kullanılan bir ilişkidir.

Buna göre “p veya q önermesinin değili” “p’nin değili ile q’nun değilinin evetlenmesine”, “p ve q’nun değili” “p’nin değili ile q’nun değilinin veya’lanmasına” eşittir.

p ve q nun değili → (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’

p veya q nun değili → (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’

şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

İse Bağlacı (⇒)

Bir tek durum dışında (p ⇒ q) önermesinin doğruluk değeri her zaman doğrudur. Koşullu önermenin yanlış olduğu durum p ≡ 1 iken q ≡ 0 olduğu halidir.

p ⇒ q Doğruluk Tablosu

p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

Örnek

(p ⇒ q’) ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (p’ ∨ q’) ∨ q [isenin veya denkliği uygulandı]

≡ p’ ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]

≡ p’ ∨ 1

≡ 1

p ve q önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q koşullu önermesine göre;

p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p ,
p ⇒ q önermesinin tersi p’ ⇒ q’ ,
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q’⇒ p’ olur.

Ancak ve Ancak Bağlacı (⇔)

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ⇔ q (p ancak ve ancak q) biçiminde gösterilir.

p ⇔ q Doğruluk Tablosu

p ⇔ q önermesi önermeler aynı doğruluk değerine sahipken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Örnek

Aşağıdaki önermeleri “ancak ve ancak” bağlacı ile birleştirelim.

p: “16 çift bir sayıdır.” (p ≡ 1)

q: “16 sayısı 2’ye tam bölünür.” (q ≡ 1)

p ⇔ q: “16 sayısı çift bir sayıdır ancak ve ancak 16’ye tam bölünür. (p ⇔ q ≡ 1)

9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız

9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız